[Bu başlık "Cebir: Hungerford Çalıştayı"nın bir başlığıdır.]

Seçim Beliti: $I != emptyset$ ve ${A_i : i in I}$ boş olmayan kümelerden oluşmuş kümeler ailesi olsun. Bu durumda $prod A_i != emptyset$ olur. (sayfa:13)

Seçim Fonksiyonu: S bir küme olsun. S'nin tüm boştan farklı A altkümelerinden S'ye giden ve $f(A) in A$ özelliğini sağlayan f fonksiyonuna S için seçim fonksiyonu denir. (sayfa: 15)

Önerme: Seçim beliti, her S kümesinin seçim fonksiyonunun olması durumuna denktir.

soru: önermeyi ispatlayınız : )

çözümüm şöyle: (ben hata göremedim, tüm çözümlerde olduğu gibi bu da tartışmaya açıktır.)

Her S için bir seçim fonksiyonu var olsun. O zaman her $A_i$ için bir seçim fonksiyonu vardır ve $f_i:A_i->A_i$, $f_i(A_i) \in A_i$ vardır. Bu durumda $prod A_i$={ $f_i(A_i) : i \in I$, f seçim fonksiyonu}$!= \emptyset$

Diğer taraftan, $I != \emptyset$ ve {$A_i : i \in I$} alalım. Bu durumda $prod A_i != \emptyset$ olsun.

Herhangi boştan farklı S kümesi alalım. S'nin boştan farklı her A altkümesi için seçim fonksiyonu bulunabilir mi?

(olmayana ergiyi kullanalım.)
S'nin öyle bir $A_j != \emptyset$ altkümesi olsun ki $f_j:A_j ->S$, $f_j(A_j) \notin A_j$ olsun. $A_j \in {A_i: i \in I}$ olsun. $prod A_i != \emptyset$ olduğundan $f_i(a_i) \in A_i$ olur. Bu durumda $f_j(a_j) \in A_j$ olur. Oysa $f_j(A_j) \notin A_j$ idi. çelişki!

Demek ki her S için bir seçim fonksyonu bulunabililr.

Ayşe, senin kanıtında hatalı bir yön bulamadım. Bana da doğru göründü.
Benim de bir kanıtım var. İlk önce bir tanım yapayım da kanıtım anlaşılır olsun:

Tanım. $I != \emptyset$ indis kümesi olsun.
$quad quad prod A_i = {f: I -> uu A_i$ öyle ki $f(i) in A_i}$
kümesine ${A_i}_{i in I}$ ailesinin doğrudan (direct) çarpımı denir.

Şimdi S=$uu A_i$ olsun, yani $A_i$ ler S nin altkümeleridir, ve bu kümeler boştan farklı olsun. Ayrıca indis kümesini $I=A_i$ kümesini seçelim, yine boştan farklı olur bu da. Bu durumda seçim fonksiyonları ailesinin direk çarpımı şu olur:
$quad quad prod A_i = {f: A_i -> S$ öyle ki $f(A_i) in A_i}$

Eğer $A_i$ den S ye en az bir seçim fonksiyonu varsa bu çarpım boşküme olmamalıdır:
$quad quad prod A_i !=\emptyset$
Seçim beliti de zaten S için aynı şeyi diyor! Kanıt bitmiştir.

Saygı Sevgi ve mantık...