[Bu başlık "Cebir: Hungerford Çalıştayı"nın bir başlığıdır.]

Merhaba arkadaşlar,
Cebir yapmaya başlamadan önce biraz "cebir geyiği" fena olmaz diye düşündük. Biraz serbest atış yapalım, ne dersiniz? Bakalım bildiklerimizi nasıl ifade edebiliyoruz? Sonuçta Cebir konularını iyi anlamak için Soyut Matematik bilgisinin de yardımı olacak. Biraz bu tür şeylere değinelim, felsefe yapalım, ama çok derine inmeyelim (biz felsefeci değiliz ne de olsa), sonra cebire dalarız.

Örneğin ilk başta küme nedir diye bir soralım kendimize (tabi buraya konuşuyoruz). Kümenin tanımını verebilecek olan var mı?

bildiğim küme kavramının aile kavramından gelmiş olduğudur...küme nedir? bir takım "özellikleri ortak " olan elemanlar topluluğunun oluşturduğu sisteme küme denir ...ya da paralel gösterimde bulunan elemanlar topluluğu... mi? atmak serbest miydi? ya da bazı elemanların oluşturduğu aile...aslında her zaman benzer özellikler göstermek zorunda değil eğer A={x e R | |x|<5} gibi tanımlanmamışsa...sahi nedir küme? :o
aslında formel daha kolay anlatılıyor ama sözsel nasıl olur ki? :o

kümenin ilk bildiğim tanımı (aslında tam bir tanımı yoktur) şuydu: elemanı olan ya da boş olan şey. diğer taraftan sınıf, elemanlar topluluğu olarak tanımlanıyor. ve küme, sınıftan daha özel birşey olarak tanımlanmak isteniliyor. bu durumda yukarıdaki tanım biraz havada kalıyor. ne dersiniz?

öncelikle "Elemanları ortak" olmak zorunda değil.

Küme bir "şey"dir. Ancak bu "şey" bazı ilkeleri sağlıyor. Bu ilkelerin (belitlerin) ne olduğu sanırım konu dışı sayılır. Bir de kümenin "eleman"ları olabiliyor (her ne demekse!).

Bu tür "şey"lere biraz alışmak tabuları yıkmak açısından çok yararlıdır. Matematikte "kuram" denen sistemler belli ilkelere (belit, axiom), çıkarım kurallarına ve bu "şey"lere dayanır. "şey"lerin ne olduğunu söylediğiniz anda siz o kuramın bir modelinden bahsetmiş olursunuz. Neyse...

Peki bu kümelerin bileşim ve kesişim ve fark gibi şeyleri var. Bunları görünce aklımıza ne gelmeli sizce?
$A uu B={x \ | \ x in A \ vv \ x in B}$
$A nn B={x \ | \ x in A \ ^^ \ x in B}$
$A \\ B={x \ | \ x in A \ ^^ \ x !in B}$
Tamam bunların tanımları bu şekilde ama, bunlar nedir? niye böyle şeyler tanımlanmış? Oradaki simgeleri görünce kafamızın üstünde ilk hangi ampül yanmalı sizce? Cebir bunun neresinde?

Benim kume deyince dusundugum sey herhangi bir "x seyi" icin "x senin elemanin mi?" sorusuna evet veya hayir seklinde cevap verebilen bir "sey".
Yani birseyin kume olmasi icin bunu yapabilmesi yeterli bana gore.

Oktay D. demiş ki: $A uu B={x \ | \ x in A \ vv \ x in B}$ $A nn B={x \ | \ x in A \ ^^ \ x in B}$ $A \\ B={x \ | \ x in A \ ^^ \ x !in B}$ Tamam bunların tanımları bu şekilde ama, bunlar nedir? niye böyle şeyler tanımlanmış? Oradaki simgeleri görünce kafamızın üstünde ilk hangi ampül yanmalı sizce? Cebir bunun neresinde?

"ortak özelliklere sahip elemanlar topluluğu" ile "elemanları ortak" aynı şeyi ifade etmiyor...

neden tanımlanmış aynı soru matematiğin temelinde de yok mu ?tanımlar neden yapılır? :o

pardon "özellikleri ortak" demek istemiştim. Dalgınlığıma geldi.

genel olarak tanımlar yapılır çünkü bazı şeylerin üzerinde konuşmamız gerekir. O şeye gönderme yapmak için tanım yapmak yararlı sanırım. Ama benim merak ettiğim bu tanımları görünce, o simgelere raslayınca ne tür şeyler geliyor aklınıza? Herkes bir tanım yapabilir ama dikkat edin bu tanım çok temel, matematiği ve özellikle konumuz olan cebiri bunlara oturtmuşuz. Peki neden? Bana bu simgelerin ne olduğunu ne işe yaradığını söyleyebilir misiniz?

kesişim, birleşim ve fark kümeler üzerinde birer ikili işlemdir. aynı zamanda birleşim ve kesişim, kafes teorisinden hatırladığımız join ve meet'lerin, kümelerdeki karşılığıdır.(bu kısmı, cebrin ilerleyen bölümlerinde işimizi kolaylaştırır diye not düştüm.)

Öncelikle şunu belirteyim ki bir kümenin elemanlarının ortak özelliklere sahip olması gerekli değildir. Fakat herhangi bir kümenin elemanları arasında sonsuz tane ortak özellik bulunabilir. Mesela {1,91,19} kümesi herhangi bir ortak özellik ile tanımlanmamıştır. Fakat bu kümenin elemanları arasında istediğimiz kadar ortak özellik bulabiliriz. Mesela bunlardan hiçbiri 2 ile tam bölünmez. Fakat bu küme, "2 ile tam bölünmeyen sayılar kümesi" değildir.

Bir kümenin elemanlarını ortak özelliklerinden faydalanarak tanımlayacaksak, bu tanımın tekil olması ve önceden tanımlanmış olan kümelerin alt kümeleri olarak tanımlanmaları gerekir. Mesela 2 ile kalansız bölünemeyenlerin kümesi dediğimizde bu öyle bir kümeyi tarif eder ki elemanları arasında ben bile varımdır. Çünkü ben de 2 ile kalansız bölünemem. İşte bu sebepten ötürü bu kümeyi daha önceden tanımlı bir kümenin alt kümesi olarak tanımlamada fayda vardır. Mesela aynı kümeyi 2 ile kalansız bölünemeyen pozitif tamsayılar kümesi olarak tanımladığımızda, bu kümeyi pozitif tamsayılar kümesinin bir alt kümesi olarak tarif etmiş oluruz.

Bu arada Oktay bey'in belirttiği simgeler ile kümelerin eleman sayıları arasında bakkala gittiğimizde sıkça kullandığımız bağlantılar vardır ki Cebir'i Cebir yapan da budur. Cebirin 4 büyükleri, 4 işlem.
$m(K) =$ Sonlu elemanı olan K kümesinin eleman sayısı (Saymayı bildiğimizi farzediyorum.)

$A uu B={x \ | \ x in A \ vv \ x in B}$
$A nn B={x \ | \ x in A \ ^^ \ x in B}$
$A \\ B={x \ | \ x in A \ ^^ \ x !in B}$

$m(A uu B) - m(A nn B) = m(A) + m(B)$
$m(A \\ B) - m(B \\ A) = m(A) - m (B)$ ... gibi

Bir diğer mesele eşit kümeler meselesidir. Kümelerin eşitliği ile ilgili çeşitli tanımlar duydum. Fakat basit ve net olarak "farklı eleman yada elemanlara sahip olmayan kümeler eşittir." diyebiliriz.
Saygıdeğer Ali Nesin geçen sene üniversitemize geldiğinde kümelerin eşitliğini "tüm elemanları aynı olan kümeler" şeklinde ifade etmişti. Fakat bu durumda boş kümelerin eşitliği hakkında yorum yapamayız.
$A \\ B={x \ | \ x in A \ ^^ \ x !in B}$
$B \\ A={x \ | \ x in B \ ^^ \ x !in A}$
$m(A \\ B)=0 \ \ \ \^^ \ \ \ m(B \\ A)=0 \ \ <=> \ \ A = B$
$m(K) = 0 <=> K = \emptyset$ (Boş kümeler de eşittir)

Kübra demiş ki: neden tanımlanmış aynı soru matematiğin temelinde de yok mu ?tanımlar neden yapılır? :o

Anlamak ve ayırabilmek için yapılır.

Çok sıradan bir şeymiş gibi söyledin ama aslında çok temel bir şeydi:

Ayşe demiş ki: kesişim, birleşim ve fark kümeler üzerinde birer ikili işlemdir. aynı zamanda birleşim ve kesişim, kafes teorisinden hatırladığımız join ve meet'lerin, kümelerdeki karşılığıdır.(bu kısmı, cebrin ilerleyen bölümlerinde işimizi kolaylaştırır diye not düştüm.)

ikili işlem bu, sıradan olur mu? grup, halka, vektör uzayı,... neyle tanımlanıyor... daha neler:)

"not düşmüştüm" hörmetler efenim..

Sanırım cebire ısınmışızdır. Artık çalıştaya dalsak iyi olur. Dileyen arasıra buraya gelip geyik yapabilir

yok o not düşme, join-meet ile ilgili bölüm içindi

saygı sevgi ve mantık

Şenol demiş ki: Kübra demiş ki: neden tanımlanmış aynı soru matematiğin temelinde de yok mu ?tanımlar neden yapılır? :o Anlamak ve ayırabilmek için yapılır.

bazı şeyleri açıklamak için yapılır...anlamak ve açıklamak...

küme iyi tanımlanmış elemanlar topluluğudur.
bu çok basit bi ortaokul açıklaması ama pek kanul görmedi mis sizde?

pekı su ıyı tanımlı olma durumunu ırdelesek ıyı tanımlı olunca ne oluyo

iyi tanımlılık bir "ifade"nin biricik (tektürlü) olması demektir.

geçen bir öğrencim de bana sordu "iyi tanımlı" ne demek diye:
"bak" dedim,"dersanedeki güzel kızlar kim"diye sorsam,senin cevabınla,arkadaşının cevabı birbirini tutar mı?"
"tutmaz" dedi.
bende "peki,17 yaşındaki kızları söyle desem,cevabınız aynı olur mu" dedim,"evet" dedi.
"anladın mı,iyi tanımlı ne demek" dedim,"anladım" dedi :)

sayısalcı kız olmayınca,sınıf sadece erkeklerden oluştuğu için ders böyle anlatılıyor :)

Peki "tektürlü" olmak ne demek? "İyi tanımlı"lığın da iyi bir tanımı var mı? Olabilir mi?

Fonksiyonlar iyi tanımlıdır. Daha genel olarak bir resmin (map) iyi tanımlı olması demek onun bir fonksiyon olması demektir. Sonuçta fonksiyon bir kümedir:
$f={(x,y) | AAx in A, EE! y in B }$
Buradaki ünlem işareti y nin biricik yani tektürlü olduğunu söyler. Daha açık yazımı da şudur:
$f={(x,y) | AAx in A, EE y,z in B, y=z }$
yani "her x e karşılık y bulunduğu zaman bir de z bulunrusa y=z dir."
Bunu kısaca $EE!$ ile gösteriyoruz ve adına "biricik" diyoruz.

Terminolojide iyi tanımlılık, bir ifadenin biricik olmasıdır. Mesela doğal sayılardaki çarpmada abc biriciktir, yani iyi tanımlıdır. Çünkü biliyoruz ki (ab)c=a(bc). Ama mesela üçlü vektör çapraz çarpımı iyi tanımlı değildir. Ama $A*(B xx C)$ iyi tanımlıdır, hatta bunu bazı kitaplar [ABC] diye yazar çünkü $(A xx B)*C=A*(B xx C)$.

Ya da sıralı ikililer biriciktir. Çünkü (a,b)={{a},{a,b}} diye tanımlıdır ve (a,b)=(c,d) ancak a=c ve b=d olduğunda gerçekleşir.

Oktay D. demiş ki: öncelikle "Elemanları ortak" olmak zorunda değil. Küme bir "şey"dir. Ancak bu "şey" bazı ilkeleri sağlıyor. Bu ilkelerin (belitlerin) ne olduğu sanırım konu dışı sayılır. Bir de kümenin "eleman"ları olabiliyor (her ne demekse!). Bu tür "şey"lere biraz alışmak tabuları yıkmak açısından çok yararlıdır. Matematikte "kuram" denen sistemler belli ilkelere (belit, axiom), çıkarım kurallarına ve bu "şey"lere dayanır. "şey"lerin ne olduğunu söylediğiniz anda siz o kuramın bir modelinden bahsetmiş olursunuz. Neyse... Peki bu kümelerin bileşim ve kesişim ve fark gibi şeyleri var. Bunları görünce aklımıza ne gelmeli sizce? ={x \ | \ x in A \ vv \ x in B}$ $A nn B={x \ | \ x in A \ ^^ \ x in B}$ $A \\ B={x \ | \ x in A \ ^^ \ x !in B}$ Tamam bunların tanımları bu şekilde ama, bunlar nedir? niye böyle şeyler tanımlanmış? Oradaki simgeleri görünce kafamızın üstünde ilk hangi ampül yanmalı sizce? Cebir bunun neresinde?

Sembolleri kullanmasaydık her defasında söylemek istediklerimizi uzun uzun yazmak zorunda kalabilirdik.A$ uu$B yazmak yerine "A kümesindeki elemanlar veya B kümesindeki elemanlar"yazmak çok zahmetli olabilirdi.

Arkadaşlar felsefi bakalım demişsniz terimoloji yapmışsınız. Bende terimsel olmadan cebir hakkında birşeyler söylemek istiyorum.
Cebir ilk konusuyla başlmak üzere bütün konuları çok sıkı bağlıdır. İlk konuların mantığını anlamadıktan sonra hiçbir şekilkde cebiri anlayamazsınız.
Neden-Sonuç ilişkisini çok iyi anlamalısınız çünkü bir konuda ki bu ilişkiden başka bir konuda çok iyi yararlanacaksınız.
Cebirin katkılarına gelince matematik öğreniminde size çok kolaylık sağlayacaktır. Eğer cebirde ispat yapmayı öğrendiyseniz matematikte rahatça ispatlar yapabilrisiniz.

Felsefî olması, terminolojik olmaması demek değildir. Terimler, konunun daha anlaşılır olması için kullanılır ki biz de öyle yaptık. Yukarıdaki püf noktaları terim kullanmadan söyleseydik hiç kimse demek istenileni anlamazdı.