[Bu başlık "Cebir: Hungerford Çalıştayı"nın bir başlığıdır.]

Hungerford'un kitabında Sayfa 2'de sınıf ve küme arasındaki ilişki verilmiş.

Önerme: Her sınıf küme olmak zorunda değildir.

Örnek: M={X| X küme ve $X \notin X$}

"tüm kitapların kümesi bir kitap değildir" örneğinde olduğu gibi $X \notin X$ koşulunu sağlayan örnekler bulabiliriz.

Varsayalım ki M küme olsun. Bu durumda $M \in M$, $M \notin M$'yi; $M \notin M$ de $M \in M$'yi gerektirir. O zaman hem $M \in M$ hem de $M \notin M$ aynı anda sağlanmış olacaktır. Bu da çelişkidir.

bu arada önceden bu örneği bir başlıkta işlemiştik, onu anımsadım şimdi: Russell Paradoksu

vermiş olduğunuz formel örnekle gündelik örnek farklı şeyleri ifade ediyor...

tüm kümelerin kümesi(1)
kendi kendini içermeyen tüm kümelerin kümesi(2)
bunların ikisi farklı şeyleri ifade ediyor...

formel örnek 2. yi,,gündelik ise 1. yi ifade ediyor ve ikisinde de aynı şeyin ifade edildiğini yazmışsınız...farklı şeyleri ifade ediyor peki ya "çıkış" noktalarının aynı olduğunu söyleyebilir miyiz?ikisinde de evrensel küme olması gibi bir sonuç karşımıza çıkıyor..eğer paradoks olmasını istemiyorsan kendine bir evrensel küme seç(bir kümenin evrensel olduğunu farzet) ve işlemlerini ona göre yap...

yani açıkçası kitapta da aynı şey yazıyor ama "tüm kitapların kümesi kitap değildir." ile bağlantısı nedir kendi kendisini içermeyen kümeler kümesi...

Öncelikle, kümelerin birleşimi küme olmak zorunda (kümeler kuramının üçüncü beliti olan birleşim beliti gereği). Bu durumda A ve B küme ise $A uu B$ de kümedir.

Şimdi Russel paradoksundan biliyoruz ki kendini içermeyen kümelerin topluluğu (buna T diyelim) küme değil. O zaman geri kalan şeylerin kümesi (yani kendini içeren kümelerin kümesi) olan T' ile T nin birleşimi, $T uu T'$ (her ne demekse!) küme olamaz.

Saygı Sevgi ve Mantık...