İki negatif sayının çarpımı neden pozitiftir ?

Sayılar kuramının temel belitlerini (aksiyom) yazayım:
a', a nın ardılı olmak üzere,
T1. a+0=a
T2. (a+b)'=a+b'
T3. a+b=0 olacak şekilde en az bir b vardır ve b=-a tektir.
T4. a+b=b+a

Ç1. a1=a
Ç2. ab'=ab+a
Ç3. ab=1 olacak şekilde en az bir b vardır ve $b=a^-1$ tektir.
Ç4. ab=ba

D. a(b+c)=(b+c)a=ab+bc

Ç3 bize -1 diye bir sayının varlığını söylüyor.
Sav 1. a(-1)=-a
Kanıt.
0=a0=a(1-1)=a1+a(-1)=a+a(-1)
T3e göre a(-1) burada o tek eleman oluyor, yani -a ya eşit oluyor.

O halde bizim sadece -1 ile -1 in çarpımının 1 olduğunu göstermemiz yeterli olacaktır.

Sav 2. (-1)(-1)=1
Kanıt.
0=(-1)0=(-1)(1-1)=(-1)(1)+(-1)(-1)=(-1)+(-1)(-1)
T3e göre 0=(-1)+(-1)(-1) eşitliğinden (-1) ile toplanınca 0 olan tek bir sayı vardır o da 1 dir. Bu durumda (-1)(-1)=1. QED


Saygı Sevgi ve Mantık...

Ç3 nasıl -1'in varlığını söylüyor anlamadım.

pardon T3 demek istedim.. harf karıştırmışım

Oktay D. demiş ki: QED

Bu kısaltma kolayca görünen ıspatlarda yapılan bir kısaltmadır. Burda senin yaptığın ıspat pekde kolay görünen bir ıspat değil. Bu çok ekstra bir bilgi. Bunun daha basit ve sade bir ıspatı olmalı.

Aslında onun için QED deyip gözkırptım çünkü eğer belitleri vermeseydim (ki gerekli gereksiz tüm belitleri verdim) çözüm iki savdan oluşuyordu. Birincisi önsav niteliğinde hatta. Yani belitleri vermeden de neden öyle olduğunu anlardınız ama olabildiğince biçimsel olsun istedim. Yapılacak diğer kanıtlar da temelde bununla aynıdır ama daha az biçimsel olduğu için farklı görünebilir.

Saygı Sevgi ve Mantık...

Erdem demiş ki: Oktay D. demiş ki: QED Bu kısaltma kolayca görünen ıspatlarda yapılan bir kısaltmadır.

Oyle mi gercekten? Simdi wikipedia'ya baktim da, ingilizce "which was to be demonstrated" anlamina geliyormus bu qed. Yani "gostermek istedigimiz de buydu" gibi bir sey.

Yine de, genel kullanımı kolay kanıtlamalar, önsavlar (collory, lemma) vs için. Anlamı öyle demese de.

Ben bu sorunun cevabını ortaöğretimdekilere örnekle açıklıyorum..(kitabın birinde vardı)

22 kişilik bir sınıf , bu sınıfta bir başkanlık seçimi, başkanlığa da x ve y aday olsun.
Seçim günü öncesinde herkes bir karar versin ve 12-8 x başkanlığı kazanıyor olsun.
Seçim günü geldiğinde sınıfa 5 kişi gelmesin.Bu durumda kullanılmayan oyu -5 olarak kabul edebiliriz.Bu 5 kişi gelseydi,oyunu x'e verecekti.x'e verilen her oy ise,y için -1 anlamına gelir.Dolayısıyla (-5).(-1) =+5 oyluk bir avantaj sağlamıştır y'ye (8-7) ve başkan olmuştur..

Güzel bir matematiksel ispat :)

Evet güzel

Ali Nesin'in bir kitabında vardı, o da ilkokul öğrencisine matematik çalıştırıyormuş. Somut örnekler vererek anlatıyormuş. toplamayı falan öğretmiş, sonra çarpma, sonra eksiyle çarpmaya gelmiş örnek bulamamış. Bunun için bir örnek istemiş diğer kişilerden. Biri "diyelim ağaca her çıkıldığında 3 elma toplansın. Eğer biz ağaca iki kere çıkacakken, çıkmazsak -2*3 elma toplamış oluruz." gibi bir şey demişti. Bu örnek de aynı mantık ama iki sayıyı da negatif almış oluyor.

Saygı Sevgi ve Mantık...

Oktay D. demiş ki: Eğer biz ağaca iki kere çıkacakken, çıkmazsak -2*3 elma toplamış oluruz." gibi bir şey demişti.

Nasil yani? 0 degil mi? :-)
Neyse, bu konu ayakkabicinin zarari konusuna donmesin ;-)

Biz ağaca çıkacaktık ama o an için çıkmadık, o zaman çıkılacakların hesabında almadıklarımız eksiyle çarpılmış olur. "alacakken almamak" burada eksiyle çarpmak olarak modelleniyor, bir anlamda.

Saygı Sevgi ve Mantık...

(-a)-(-a)=0 Eşitliğinher iki tarafınada +a eklenirse eşitlik bozulmaz
a-a-(-a)=a
-(-a)=a
(-1)(-a)=a

..

Tabi ki Oktay D. arkaşımızın yaptığı ispat daha güzel
Ama ikisininde özü aynı. Ben sadece belitleri yazmadan daha kısa yazdım.
Saygılar

..

Ece demiş ki: Bence Oktay D. nin yaptığı ispat çok güzel olmuş. Biraz daha genellemek gerekmezmiydi? şöyle; Herhangi a>0, b>0 ; a.b>0 olduğunu biliyoruz. Ve (-1).(-1)=1 olduğunu bizim için Oktay ispatladığından ispatlanmış kabul ediyorum;) (-a).(-b) = (a.(-1)).((-1).b) = a.(-1).(-1).b =a.b>0

Aslında benim verdiğim kanıt (sanıyorum) iyi sıralı, o işlemlerin tanımlandığı ve toplamaya göre tersinir olan her küme için geçerli. Zaten (sanıyorum) bunun dışında "negatif ve pozitif" ayrımı yapabileceğimiz başka kümeler yok.

Saygı Sevgi ve Mantık...

İspatı benim gibi matematik ile amatör olarak uğraşanlar için veriyorum:
Diyelim ki:
(-1)(-1) = -1 olsun;

Eğer aşağıdaki gibi bir eşitlik yazarsak:
(-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1)
(-1)(0) = -1 + -1
0 = -2 olur ki bu da yanlıştır.

Ancak;
(-1)(-1) = +1 olduğunda

(-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1)
(-1)(0) = 1 + -1
0 = 0 olur ki bu da doğrudur.

Yalnız burada şunu belirtmek isterim ki, Oktay Beyin yaptığı ispat bence en genel geçer ispattır. Çünkü benim yaptığım ispatla ancak (-1)(-1) = +1 olduğu ispatlanır. Ancak Oktay Beyin yaptığı ispatla hangi eksi sayıyla hangi eksi sayıyı çarparsanız çarpın sonunuçta pozitif bir sayı çıkacağını bulursunuz. Genel olarak her iki eksi sayının çarpımı esasında bu sayıların çarpımı ile eksi bir sayılarının birbiri ile çarpımına eşit olduğunu biliyoruz. Ama ben Oktay Beyin ispatını daha çok beğendim.

Saygılar

ben birde ispatı olduğunu bilmiyordum benim bildiğim tanımlardan zaten çıkıyor..
(-1)*(-1)=(o,1)* (0,1)=1

bunu genellyebiliriz tüm sayılar için ama ispata gerek var mı bilmiyorum yada

Burada (0,1) dediğiniz denklik sınıfı temsilcisi mi? Orada doğrudan çıkmıyor dikkat ederseniz (yine yukarıdaki kanıtları burada bu gösterimle tekrarlamalısınız).

Merak edenler için tanımı vereyim:
$NNxxNN$ de bir ~ bağıntısı tanımlansın. (a,b)~(c,d) demek a+d=b+c demek olsun. Bu bağıntıya uyanları [a,b] ile temsil edelim. bu durumda tamsayılar kümesi $ZZ$ bu temsilcilerin sınıfından oluşur.

Toplama: $[a,b] + [c,d]=[a+c,b+d]$
"0"=[a,a] ve [a,b] nin tersi [b,a] olduğu görülebilir.
Çarpma: $[a,b] * [c,d]=[ac+bd,ad+bc]$
"1"=[1,0] olduğu tanımdan çıkarılabilir.
Bu durumda "-1"=[0,1] olur.

Saygı Sevgi ve Mantık...

Yukarda bir çok kanıt yapılmış ama benim bu konuda en çok rastladığım bir tane vardı onu yazayım bende,$t=a.b+(-a).b+(-a)(-b)$ olsun.

$t=a.b+(-a).b+(-a)(-b)=b(a+(-a))+(-a)(-b)=(-a)(-b)$

paranteze almayı diğer iki terimde yaparsak

$t=a.b+(-a).b+(-a)(-b)=a.b+(-a)(b+(-b))=a.b$

$t=(-a)(-b)=a.b$

Evet güzel bir kanıt. Kısa ve öz.

Bu da şimdi çıakrsadığım bir kanıt:
$quad quad 0=0$
$quad quad a*0=0*(-b)$
$quad quad a*(b+(-b))=((-a)+a)*(-b)$
$quad quad a*b+a*(-b)=(-a)*(-b)+a*(-b)$
her tarafa $-(a*(-b))$ eklersek
$quad quad a*b=(-a)*(-b)$

Saygı Sevgi ve Mantık...

Paralel 2 doğru Öklid geometrisinde neden kesişmezse o

yüzden Ayhan..

Hasan demiş ki: Ben bu sorunun cevabını ortaöğretimdekilere örnekle açıklıyorum..(kitabın birinde vardı) 22 kişilik bir sınıf , bu sınıfta bir başkanlık seçimi, başkanlığa da x ve y aday olsun. Seçim günü öncesinde herkes bir karar versin ve 12-8 x başkanlığı kazanıyor olsun. Seçim günü geldiğinde sınıfa 5 kişi gelmesin.Bu durumda kullanılmayan oyu -5 olarak kabul edebiliriz.Bu 5 kişi gelseydi,oyunu x'e verecekti.x'e verilen her oy ise,y için -1 anlamına gelir.Dolayısıyla (-5).(-1) =+5 oyluk bir avantaj sağlamıştır y'ye (8-7) ve başkan olmuştur.. Güzel bir matematiksel ispat

MATEMATİKTE ÖRNEKLE SOMUTLAŞTIRARAK İSPATI HERZAMAN SAVUNMUŞUMDUR AMA BU HİÇ BİR ZAMAN GEÇERLİ DEĞİLDİR VE KABUL GÖRMEZ NEDENSE...