[Bu başlık "Cebir: Hungerford Çalıştayı"nın bir başlığıdır.]

G değişmeli grup ve a,b $in$ G olsun. o(a)=m ve
o(b)=n olsun. Bu durumda G'nin öyle bir x elemanı vardır ki, o(x)=ekok{m,n}'dir.

(yol gösterme: ilk olarak (m,n)=1 durumunu göz önünde bulundurun.)

Düzeltildi.

(m,n)=1 olduğu ve olmadığı durumlara bakmadan da çözülebilir Bu yüzden iki yolu da tartışalım.

Ben şu şekilde düşündüm:

o(a)=m demek $a^m=e$ koşulunu sağlayan en küçük m sayısı demek oluyor. bu durumda d=(m,n) dersek
$quad quad e=a^m b^n=(a^m b^n)^(d // d)=(a^(m // d) b^(n // d))^d$
olur (dikkat: üsteki sayıyı parantezin içindeki terimlere dağıttık, buna G nin değişmeli olması izin verdi). Şimdi aynı şekilde bir r sayısı olduğunu düşünelim, yani,
$quad quad e=(a^(m // d) b^(n // d))^r=a^(mr // d) b^(nr // d)=(a^m)^(r // d) (b^n)^(r // d)$
burada $r/d in ZZ$ olması gerektiği için $d|r$. Yani d bu r sayılarının en küçüğüdür yani
$quad quad o(a^(m // d) b^(n // d))=d=(m,n)$
aha da bulduk keratayı kanıtta sorun yoksa tabi...

Saygı Sevgi ve Mantık...

soruda yine hata var,iki sayının (m,n)=1 durumunu gözönünde bulundurun denmiş olmalı sorunun aslında